На сельской улочке

[gegmopo4]

На сельской улочке встречаются велосипедист, едущий со скоростью 15 км/час и легковушка — 30 км/час. Во сколько раз меньше выхлопов вдохнёт велосипедист, чем сидящая у дороги на скамейке бабушка? А если бы автомобиль обгонял велосипед, то во сколько раз меньше вдохнёт велосипедист, остановившись и переждав, пока развеется дым, чем продолжая ехать в пыльный хвост? А если навстречу автомобилю идёт пешеход со скоростью 5 км, то стоит ли ему переходить на бег со скоростью 10 км/час, чтобы быстрее выбраться из отравленного облака, если при этом интенсивность дыхания возрастает на 20%?

Comments

[half-integer.livejournal.com]

А каковы пространственные параметры распределения газов по координате вдоль направления движения? Можно ли решать временное уравнение диффузии в предположении аксиальной симметрии задачи?
Шучу, шучу.
Задача же шутливая. Или нет?

[gegmopo4.livejournal.com]

Нет. А пространственное распределение роли не играет.

[half-integer.livejournal.com]

Да, действительно, при простейших допущениях не влияет. Я сразу не подумал как следует.
Если предположить, что распределение концентрации дымовых частиц описывается функцией f(x) в системе отсчёта, связанной с автомобилем, а поглощение этих частиц лёгкими пропорционально концентрации dp=a*f(x(t))*dt (а — нормировочная константа), то суммарное поглощение p=\int_0^\infinity {f(x(t))*dt}=\int_0^\infinity {f(x)*dx/(dx/dt)}. dx/dt — относительная скорость объекта относительно автомобиля в его системе отсчёта. В итоге получаем, что p=A/v_отн, где A — константа (если объекты совершают одинаковые перемещения относительно автомобиля и если знак относительной скорости неизменен).
Таким образом, для бабушки, встречного велосипедиста, догоняющего велосипедиста, пешехода и ускоренного пешехода имеем имеем соотвественно (u — скорость автомобиля):
p_1=A/u
p_2=A/(u+v_в)=(2/3)*p_1
p_3=A/(u-v_в)=2*p_1
p_4=A/(u+v_п)=(6/7)*p_1
p_5=1.2*(3/4)*p_1=0.9*p_1

Поэтому на поставленные вопросы таковы:
1) Бабушка вдохнёт в полтора раза больше дыма и газов, чем велосипедист.
2) Остановившись, велосипедист вдохнёт выхлопов в два раза меньше, нежели в случае, если бы он продолжил движение, будучи обгоняемым машиной.
3) Нет, пешеходу лучше не ускоряться.

[half-integer.livejournal.com]

*на поставленные вопросы ответы таковы:

[half-integer.livejournal.com]

Но вообще я, конечно, переусложнил. Задачу можно решить и без интегрирования — одними лишь "арифметическими" соображениями. Ленив я стал, в этом и причина.

[gegmopo4.livejournal.com]

Да, я обошёлся без интегралов, просто масштабированием времени (что ничто иное, как скрытая замена переменных в интеграле). Через время t велосипедист будет на расстоянии t*v от места встречи, где автомобиль был за время t*v/u до момента встречи. Т.е. в момент t велосипедист будет вдыхать выхлоп, выпущенный в момент t*(v+u)/u.

Не знаю, в каком классе можно давать такую задачку? С одной стороны, простейшие преобразования, типичные для задач «встретились два пешехода». С другой — необходимо хотя бы интуитивное представление о «чём-то вроде интегралов», а это проходят только в старших классах.

[half-integer.livejournal.com]

Да, вот это как раз очень хороший метод, правда уже скорее алгебраический, поскольку требует написания и понимания некоторых отношений.
Что же касается времени для того, чтобы предлагать задачку... Я думаю, что тогда же, когда решаются задачи про пешеходов и поезда. Или чуть позже. Мне кажется, что ключевым здесь является понятие не интеграла, которое используется учеником в самом интуитивном виде, а относительности движения (галилеевской), на которое и нацелены задачи этого класса: ребёнок способен рассудить, что количество газа, которое вдохнёт человек, тем больше, чем дольше он находится в облаке, в котором движется с постоянной скоростью — как раз использовав предложенное Вами масштабирование времени (оно же замена переменных) — но для этого как раз нужно привыкнуть смотреть на облако, велосипедиста и бабушку с точки зрения "неподвижного" автомобиля.

[gegmopo4.livejournal.com]

Всё так. :)

[t-alec.livejournal.com]

Предполагается, что объем легких у велосипедиста с бабушкой одинаковый? И частота дыхания тоже? И вообще, велосипедист настолько тренированный, что частота дыхания во время движения ничем не отличается от частоты дыхания на при остановке?

[gegmopo4.livejournal.com]

Да. Ну может быть не бабушка, а тот же велосипедист, остановившийся, чтобы протереть очки, пока пыль осядет. И не замечал я отличия в частоте дыхания при спокойной езде без груза.

[t-alec.livejournal.com]

На мой дилетантский взгляд - по барабану. Одинаково они все выхлопов наглотаются если легковушка газовать будет равномерно.

[gegmopo4.livejournal.com]

Если ехать вдогонку газующей машине, то наглотаешься больше, это невооружённым носом чувствуется.